Question

已知数列{a_n}是等差数列，公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*)，a_kx²＋2a_k+1x＋a_k+2＝0(k∈N^*)，

(1)求证：当k取不同正整数时，方程都有实数根；

(2)若方程不同的根依次为x₁，x₂，x₃，…x_n，…，求证：，，，…，，…是等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵{an}是等差数列，公差d≠0，an≠0(n∈N*)， 　　∴2ak+1＝ak＋ak+2． 　　代入已知方程得akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0， 　　即(x＋1)(akx＋ak+2)＝0． 　　方程有解x＝－1，故不论k取何正整数时，方程都有公共根－1． 　　(2)当k取不同正整数时，xk＝－， 　　∴xk+1＝－＋1＝－＝． 　　故＝－． 　　则－＝(－)－(－)＝－＝－． 　　∴数列{}是等差数列．