Question

如图，半径为1圆心角为

3π

2

圆弧

AB

上有一点C．
（1）当C为圆弧 

AB

中点时，D为线段OA上任一点，求|

OC

+

OD

|的最小值．
（2）当C在圆弧

AB

上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求

CE

•

DE

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，以

OA

为x轴正方向，建立图示坐标系，设D（t，0）（0≤t≤1），求出C坐标，推出

OC

+

OD

，求出|

OC

+

OD

|2的表达式，然后求出模的最小值．
（2）设

OC

=（cosα，sinα）（0≤α≤

3

2

π），求出

CE

•

DE

的表达式结合

π

4

≤α+

π

4

≤

7π

4

，求出

CE

•

DE

的取值范围．

解答：解：（1）以O为原点，以

OA

为x轴正方向，建立图示坐标系，
设D（t，0）（0≤t≤1），C（-

2

2

，

2

2

）…2′
∴

OC

+

OD

=（-

2

2

+t，

2

2

）
∴|

OC

+

OD

|2=

1

2

-

2

t+t2+

1

2

=1-

2

t+t2（0≤t≤1）…4′
当t=

2

2

时，最小值为

2

2

…6′
（2）设

OC

=（cosα，sinα）（0≤α≤

3

2

π）

CE

=

OE

-

OC

=（0，-

1

2

）-（cosα，sinα）
=（-cosα，-

1

2

-sinα）…8′
又∵D（

1

2

，0），E（0，-

1

2

）
∴

DE

=（-

1

2

，-

1

2

）…10′
∴

CE

•

DE

=

1

2

(cosα+

1

2

+sinα)=

2

2

sin(α+

π

4

) +

1

4

…12′
∵

π

4

≤α+

π

4

≤

7π

4

…13′
∴

CE

•

DE

∈[

1

4

-

2

2

，

1

4

+

2

2

]…14′

点评：本题考查向量的数量积，向量的表示方法，三角运算，考查转化思想，计算能力．