【题目】已知都是各项不为零的数列,且满足,,其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.
(1)若数列的通项公式分别为,求数列的通项公式;
(2)若(是不为零的常数),求证:数列是等差数列;
(3)若(为常数,),(,),对任意,,求出数列的最大项(用含式子表达).
【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)代入数据得到,根据通项和前项和关系并验证得到答案.
(2)代入数据化简得到,退项作减法得到(),再验证的情况得到答案.
(3)根据题意代数化简得到,令,证明时,单调递减,得到最大项.
(1)因为,所以,
由,得,
当时,,两式作差,可得,
当时,满足上式,则.
(2),当时,,
两式相减得:,
即,即,
又,所以,即,
所以当时,,两式相减得:,
所以数列是从第二项起成公差为的等差数列.
又当时,由,得,
当时,由,得,
故数列是公差为的等差数列.
(3)当时,,
因为,所以,即,
所以,即,即,
故从第二项起数列是等比数列,所以当时,,
,
另外由已知条件可得,又,
所以,因而,
令,则,
故对任意的时,,恒成立,
所以时,,单调递减,中最大项为.
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【题目】如图,在三棱锥中,△ABC是等边三角形,AB⊥AD,CB⊥CD,点P是AC的中点,记△BPD、△ABD的面积分别为,,二面角A-BD-C的大小为,
证明:(Ⅰ)平面ACD平面BDP;
(Ⅱ).
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的方程是: ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设过原点的直线与曲线交于, 两点,且,求直线的斜率.
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【题目】2018年元旦期间,某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动,消费每超过400元均可参加1次抽奖活动,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.
方案一:顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图),转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域,则顾客可直接获得该区域对应面额(单位:元)的现金优惠,且允许顾客转动3次.
方案二:顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图〕,转盘停止转动时指针若指向阴影部分,则未中奖,若指向白色区域,则顾客可直接获得40元现金,且允许顾客转动3次.
(1)若两位顾客均获得1次抽奖机会,且都选择抽奖方案一,试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率;
(2)若某顾客恰好获得1次抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望;
②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程是.
(1)求直线的直角坐标方程与圆的普通方程;
(2)点为直线上的一动点,过点作直线与圆相切于点,求四边形的面积的最小值.
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【题目】如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且(如图①).将四边形沿折起,连接、、(如图②).在折起的过程中,则下列表述:
①平面;
②四点、、、可能共面;
③若,则平面平面;
④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.
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【题目】王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人要组成一个米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话:
甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;
丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒;
王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求, 据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【题目】科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已知市年的碳排放总量为万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.
(1)求市年的碳排放总量(用含的式子表示);
(2)若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.
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