Question

已知函数f(x)=1+2sin(2ωx+

π

6

)（其中0＜ω＜1），若直线x=

π

3

是函数f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω及最小正周期；             
（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）根据对称性求得ω的值，从而得到函数的解析式，由此求得它的周期．
（2）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，求得x的范围，即可得到函数的单调减区间．

解答：解：（1）由题可知：2ω•

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈z)，故有ω=

1

2

+

3

2

k．
又∵0＜ω＜1，∴ω=

1

2

．…（3分）
∴

f(x)=1+2sin(x+ π 6 )

，由此可得函数的周期为 T=2π．…（5分）
（2）令

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，可得

π

3

+2kπ≤x≤

4π

3

+2kπ，k∈z，…（7分）
设A=[

π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ]，B=[-π，π]，则A∩B=[-π，-

2π

3

]∪[

π

3

，π]，…（9分）
故函数f（x）在[-π，π]的单调减区间为[-π，-

2π

3

]和[

π

3

，π]．…（10分）

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性及求法，求函数y=Asin（ωx+∅）单调区间，属于中档题．