Question

如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设所求椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|，由

AC

•

BC

=0，AC⊥BC．|BC|=2|AC|，|OC|=|AC|，知△AOC是等腰直角三角形，由此能够求出椭圆方程．
（2）设所求切线方程为y-1=k（x+1），由

y=kx+k+1 x2 4 + 3y2 4 =1

，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0，由判别式等于0，能判断AB与DE平行．

解答：解：（1）A（2，0），
设所求椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，…（2分）
由椭圆的对称性知，
|OC|=|OB|，
由

AC

•

BC

=0，AC⊥BC．
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C是坐标为（1，1）．…（4分）
∵C点在椭圆上，
∴

12

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

．
所求的椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．…（8分）
（2）AB与DE是平行关系…（10分）
D（-1，1），
设所求切线方程为y-1=k（x+1），

y=kx+k+1 x2 4 + 3y2 4 =1

，消去x，(1+3k2)x2+6k(k+1)x+3(k+1)2-4=0…（12分）
上述方程中判别式△=9k2-6k+1=0，k=

1

3

又kAB=

1

3

，
所以AB与DE平行…（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是综合性强，难度大，容易出错．