Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．
（ I）求实数a，b的值；
（ II）若函数f（x）在区间（m，m+1）上不单调，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b①

又f′（x）=3ax2+2bx，

则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0②

由①②解得a=1，b=3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x

令f′（x）=3x2+6x=0，得：x=﹣2或x=0

当x∈（﹣∞，﹣2）或（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．

∵函数f（x）在区间（m，m+1）上不单调，

∴m＜﹣2＜m+1或m＜0＜m+1或m＜﹣2＜0＜m+1

解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣1＜m＜0

【解析】第一问根据函数图象过点M,得到a,b关系，再根据在x=﹣2取得极值，函数求导，导数等于0，可得a,b;
第二问先应用导数与函数单调性的关系，求出函数的单调性，然后根据函数f(x)在区间（m，m+1）不单调，可得函数在（m，m+1）有增有减，可得。
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．