【题目】(2018·湖北襄阳模拟)已知椭圆C: (a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A,B,求实数m的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据三角形面积公式得PF1PF2,根据PF1⊥PF2利用勾股定理解得PF1+PF2,即得a,(2)设直线AB方程,与椭圆方程联立,根据韦达定理求AB中点坐标,根据AB中点坐标在椭圆内部得实数m的取值范围.
试题解析:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n.
∵PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面积为1,
∴m2+n2=(2)2,m+n=2a, mn=1,解得a=2,又c=,
∴b2=a2-c2=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设AB的方程为y=-x+n.
联立化为5x2-8nx+4n2-4=0,
Δ=64n2-20(4n2-4)>0,解得-<n<.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=,y1+y2=-(x1+x2)+2n=.
线段AB的中点在直线y=x+m上,
∴=+m,解得n=-m.
代入-<n<,可得-<-<,解得-<m<,
∴实数m的取值范围是.
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【题目】已知函数
(1) 求函数的反函数;
(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根满足: ,且,求实数的值.
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【题目】“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)年月日举办的促销活动,当时参与的商家数量和促销力度均有限,但营业额远超预想的效果,于是月日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近年“双十一”期间的宣传费用(单位:万元)和利润(单位:十万元)之间的关系,搜集了相关数据,得到下列表格:
(万元) | ||||||||
(十万元) |
(1)请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系(当时,说明与之间具有线性相关关系);
(2)建立关于的线性回归方程(系数精确到),预测当宣传费用为万元时的利润.
附参考公式:回归方程中和最小二乘估计公式分别为
,,相关系数
参考数据:,,,
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【题目】某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数,)的管理费.根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为元时,产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件.已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元,最高不超过41元.
(Ⅰ)求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润最大,并求的最大值.
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【题目】某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组,…,第五组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.
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【题目】如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明PA//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
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