Question

如右图所示，ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．

(1)求证：BD₁∥平面C₁DE；
(2)求三棱锥D－D₁BC的体积．

Answer 1

(1)证明：连接D₁C交DC₁于F，连结EF.
∵ABCD—A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
∴四边形DCC₁D₁为矩形，
∴F为D₁C中点．
在△CD₁B中，∵E为BC中点，∴EF∥D₁B.
又∵D₁B?面C₁DE，EF?面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE.
(2)连结BD，VD－D₁BC＝VD₁－DBC，∵AC′是正四棱柱，
∴D₁D⊥面DBC.
∵DC＝BC＝2，∴S_△BCD＝×2×2＝2.
VD₁－DBC＝·S_△BCD·D₁D＝×2×1＝.
∴三棱锥D－D₁BC的体积为.

略