【题目】如图,在三棱柱 中, 底面 ,且 为等边三角形, , 为 的中点.
(1)求证:直线 平面 ;
(2)求证:平面 平面 ;
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】
(1)证明:如图所示
连接 交 于 ,连接
因为四边形 是平行四边形,
所以 为 的中点,
又因为 为 的中点,
所以 为 的中位线,
所以
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)证明:因为 是等边三角形, 为 的中点,
所以
又因为 底面
所以
根所线面垂直的判定定理得 平面
又因为 平面
所以平面 平面 ;
(3)解:由(2)知, 中,
【解析】(1)由题意构造平面BC1D内的直线,再证明直线AB1与这条直线平行。(2)根据线面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意利用等体积法即可求出体积。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 , ,且 .
(1)求角B的大小;
(2)若sinAsinC=sin2B,求a﹣c的值.
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【题目】设函数f(x)=ax+bx+cx , 其中c>a>0,c>b>0,若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是( ) ①对任意x∈(﹣∞,1),都有f(x)<0;
②存在x∈R,使ax , bx , cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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【题目】下列选项中,说法正确的是( )
A.若a>b>0,则
B.向量 (m∈R)共线的充要条件是m=0
C.命题“?n∈N* , 3n>(n+2)?2n﹣1”的否定是“?n∈N* , 3n≥(n+2)?2n﹣1”
D.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)?f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.
(1)求证:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)在线段CC1(不含端点)上,是否存在点E,使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值为 ?若存在,求出 的值,若不存在,说明理由.
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【题目】已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程 =1表示焦点在x轴上的双曲线. (Ⅰ)命题q为真命题,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围.
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