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设函数 $数学公式$ ，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

解：（1）根据导数的几何意义知f（x）=g'（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的两个实数
由韦达定理， $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，
所以在[-1，3]区间上恒有f（x）=g'（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
这只需满足 $\text{[math]}$ 即可，也即 $\text{[math]}$
而a²+b²可视为平面区域 $\text{[math]}$ 内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，
所以当 $\text{[math]}$ 时，a²+b²有最小值13．（14分）
分析：（1）根据导数的几何意义求出f（x）=g'（x），再根据-2、4是方程f（x）=0的两个实数，由韦达定理建立方程组，解之即可；
（2）根据g（x）在区间[-1，3]上是单调减函数，得到函数g（x）在区间[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立关于a和b的约束条件，而a²+b²可视为平面区域 $\text{[math]}$ 内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，从而求出a²+b²的最小值．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及线性规划的应用等基础知识，考查灵活运用数形结合的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．

练习册系列答案

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x1+x2

)≥

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x1+x2+…+xn

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

（当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且

=λ

，则f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是

．
其中，正确命题的序号是

①③④

（写出所有你认为正确命题的序号）．

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