Question

18．已知命题p：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在R上无极值，q：函数f（x）=x³-3x-a在（0，2）上两个不等的零点，
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p为真时，求f′（x）=x²-ax+1，f（x）在R上无极值，从而△≤0，从而可得到-2≤a≤2；命题q为真时，求f′（x）=3（x²-1），f（x）在（0，2）上有两个不等零点，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，这样可求得0＜a＜2．根据条件可知p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答 解：命题p：f′（x）=x²-ax+1，则：f′（x）≥0在R上恒成立；
∴△=a²-4≤0；
∴-2≤a≤2；
命题q：f′（x）=3（x²-1）；
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，∴根据条件可画出f（x）在（0，2）上的图象如下：
由图象可知：
$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＞0}\\{f（1）=-2-a＜0}\\{f（2）=2-a＞0}\end{array}\right.$；
解得-2＜a＜0；
由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q必定为一真一假；
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≤-2，或a≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2，或a＞2}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$；
∴a=-2或0≤a≤2；
∴实数a的取值范围为{a|0≤a≤2，或a=-2}．

点评 考查函数极值的概念，利用导数判断函数极值的方法，二次函数取值和判别式△的关系，以及函数零点的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，以及数形结合解题的方法．