Question

已知F是抛物线y²=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，△AFB是正三角形，则该正三角形的边长为

8±4

3

．

Answer 1

分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，与抛物线联立，求交点的坐标，从而得解．

解答：解：y²=4x的焦点F（1，0）
等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=4x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，
则等边三角形关于x轴对称，两个边的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程为：y=±

3

3

（x-1），
与抛物线y²=4x联立，可得

1

3

（x-1）²=4x
∴x=7±4

3

，
当x=7+4

3

时，y=±2（2+

3

），∴等边三角形的边长为8+4

3

；
当x=7-4

3

时，y=±2（2-

3

），∴等边三角形的边长为8-4

3

；
故答案为：8±4

3

；

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线与正三角形的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．