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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a
    		x
    ，且g（x）在x=1处取得极值．
    （Ⅰ）求函数g（x）在x=2处的切线方程；
    （Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；
    （Ⅲ）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点个数，并说明理由．
    请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
    作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
    分析：（I）表示出函数g（x）后对其进行求导，将x=1代入导数g'（x）即可得到答案．欲求在点x=2处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
    （II）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
    （III）表示出C2的解析式，h1（x），转化为求h1（x）与g（x）的交点个数即可．
    解答：解：（I）g（x）=x2-af（x）=x2-alnx，g′(x)=2x-
    a
    x
    ，g'（1）=2-a=0
    ∴a=2经检验a=2成立
    又g（2）=4-2ln2，g'（2）=3，∴y-4+2ln2=3（x-2）
    即函数g（x）在x=2处的切线方程：3x-y-2-2ln2=0
    （II）h(x)=x-2
    		x
    ，定义域[0，+∞）h′(x)=1-
    1
    		x
    ，
    令h′(x)=1-
    1
    		x
    ＞0    ，得x＞1；令h′(x)=1-
    1
    		x
    ＜0    得0＜x＜1，
    ∴函数h（x）单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
    （III）由（1）知g（x）=x2-2lnx，h(x)=x-2
    		x
    ，定义域[0，+∞）
    ∴C2对应的表达式为h1(x)=x-2
    		x
    +6    ，问题转化为求函数g（x）=x2-2lnx与h1(x)=x-2
    		x
    +6    图象交点个数问题，故只需求方程x2-2lnx=x-2
    		x
    +6    ，即2
    		x
    -2lnx=-x2+x+6    根的个数
    设h2(x)=2
    		x
    -2lnx    ，h3（x）=-x2+x+6，h2′(x)=
    1
    		x
    -
    2
    x
    =
    		x
    (
    		x
    -2)
    x
    		x
    =
    		x
    -2
    x
    ，
    当x∈（0，4），h2′（x）＜0，h2（x）为减函数；当x∈（4，+∞），h2′（x）＞0，h2（x）为增函数，而h3(x)=-x2+x+6=-(x-
    1
    2
    )2+
    25
    4
    ，图象是开口向下的抛物线，作出函数h2（x）与h3（x）的图象，h3(
    1
    2
    )=
    25
    4
    ，而h2(
    1
    2
    )=
    		2
    -2ln
    1
    2
    =
    		2
    +2ln2＜h3(
    1
    2
    )    可知交点个数为2个，即曲线C2与C3的交点个数为2个．
    点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则，用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
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    （1）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
    （2）f(2)=-
    12
    时，解不等式f（ax+4）＞-1．

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    ①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
    ②x2f（x1）＞x1f（x2）；
    ③
    f(x1)+f(x2)
    2
    ＜f （
    x1+x2
    2
    ）．
    其中正确结论的序号是
     
    （把所有正确结论的序号都填上）．

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    已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=
    (4k-1)ln
    1
    x
    ，x∈(0 ， e]
    kx2-kx，x∈(e ， +∞)
    是增函数
    （1）求常数k的取值范围
    （2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．

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    已知定义在（0，+∞）的单调函数f（x）满足：对任意正数x，都有f[f（x）-
    1
    x
    ]=2，则f（
    1
    5
    ）=（　　）

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