Question

已知函数f（x）=-

2a

x

+lnx-2
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．
（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线垂直的关系即可求出a的值．
（2）根据不等式恒成立，将不等式转化为求函数f（x）的最值，即可求出的取值范围．

解答： 解（1）∵f（x）=-

2a

x

+lnx-2，
∴f′（x）=

2a

x2

+

1

x

，∴f′（1）=2a+1，
又∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直
∴2a+1=-1   
∴a=-1．
（2）f（x）=-

2a

x

+lnx-2的定义域为（0，+∞），
∵对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立
∴f（x）_min＞2a，
f′（x）=

2a

x2

+

1

x

=

x+2a

x2

，
当a≥0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
此时x→0时，f（x）→-∞不合题意，
当a＜0时f（x）在（0，-2a）单调递减，在（-2a，+∞）单调递增
∴f（x）_min=f（-2a）=ln（-2a）-1＞2a，
令g（x）=lnx+x-1则g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（1）=0
∴-2a＞1，
综上a＜-

1

2

．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求出函数的最值，综合考查导数的应用．