Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：

（1）平面EFO∥平面PCD；
（2）平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC

又EO平面PCD，PC平面PCD，所以EO∥平面PCD

同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O

所以，平面EFO∥平面PCD

（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A

所以BD⊥平面PAC

又BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD

【解析】（1）由题意知，EO∥PC，由线面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可证，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得证平面EFO∥平面PCD．（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC⊥平面PBD．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解判断两平面平行的方法有三种:用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．