Question

（18甲）如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为a.

 

（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A₁、C₁的坐标；

（Ⅱ）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.

Answer 1

（18甲）本小题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方法，考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.

解：

（Ⅰ）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.

由已知，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A₁（0，0，a），C₁（－a，，a）.

 

（Ⅱ）坐标系如上.取A₁B₁的中点M，于是有M（0，，a），连AM，MC₁有

＝（－a，0，0），且＝（0，a，0），＝（0，0，a）

 

由于·＝0， ·＝0，所以MC₁⊥面ABB₁A₁.

 

∴AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.    

 

∵＝（－a， ，a），＝（0， ，a），

 

∴·＝0＋＋2a²＝a².                      

 

而||＝＝a.  ||＝＝a.

∴cos＜， ＞＝.

 

所以，与所成的角，即AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为  30°.