Question

（本题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，经过点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆的左、右顶点分别为、，点为直线上任意一点（点不在轴上），
连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，试问：是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

(1)由离心率和椭圆上的一个点可建立关于a,b的两个方程，然后求解即可.
(II)先根据抛物线方程和椭圆方程解出A，然后设：，则：，由l₁与椭圆方程联立，借助韦达定理可求出,同理可求出,然后再根据,得到m关于k的函数关系式，由k>0,可确定m的取值范围.
（Ⅰ）的焦点为，的焦点为，
由条件得
所以抛物线的方程为

（Ⅱ）由得，交点
设：，则：，
设
将代入得：，
由韦达定理得：，；
同理，将代入得：，
由韦达定理得：，，
所以
因为，所以