Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=sinx（-π＜x＜0）图象上的两个不同点，且x₁＜x₂，给出下列不等式：
①sinx₁＜sinx₂；
②sin

x1

2

＜sin

x2

2

；
③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

；
④

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

．
其中正确不等式的序号是

②③

．

Answer 1

分析：由于函数y=sinx（-π＜x＜0）的单调性不确定，可得出①不正确；由函数y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函数，可得②成立．由于函数y=sinx的图象在（-

π

2

，0）
上是下凹型的，而

1

2

(sinx1+sinx2)表示线段AB中点的纵坐标，可得③成立．根据斜率公式，且OB的斜率大于OA的斜率，可得④不正确．

解答：解：由于函数y=sinx（-π＜x＜0）的单调性不确定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故①sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
由题意可得-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函数y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函数，故有②sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立．
由于函数y=sinx的图象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

(sinx1+sinx2)表示线段AB中点的纵坐标，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立．
由于

sinx1

x1

表示直线OA的斜率，

sinx2

x2

表示直线OB的斜率，且OB的斜率大于OA的斜率，故④

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

不正确，
故答案为 ②③．

点评：本题主要正弦函数的单调性，线段的中点公式以及直线的斜率公式的应用，属于中档题．