Question

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01).

(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2)某煤矿不被关闭的概率；

(3)至少关闭一家煤矿的概率.

Answer 1

解：(1)每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

P₁=×(1-0.5)²×0.5³=≈0.31.

(2)解法一：某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P₂=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该煤矿不被关闭的概率是0.90.

解法二：某煤矿不被关闭包括两种情况：①该煤矿第一次安检合格；②该煤矿第一次安检不合格，但整改后安检合格.

    所以该煤矿不被关闭的概率是

P₂=0.5+(1-0.5)×0.8=0.90.

(3)由题设及(2)可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P₃=1-0.9⁵≈0.41.

点评:主要考查概率的应用，独立重复试验，对立事件，互斥事件.