Question

 (本小题满分14分)

已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.

(1) 函数是否属于集合？说明理由;

(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.

（3）若函数，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) . (2)当时, .

(3）{k|k= nπ, n∈Z}     

【解析】(1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,即: 成立.在不成立的情况下，易用反例说明.因而 令, 则, 与题矛盾. 故.  

(2)解决本题的关键是，根据1<x+4<2,从而根据时, 求出f(x)的表达式.

(3) 解本题应讨论当k=0和k≠0两种情况.

然后解决本题的突破口是对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx    

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，下面再对T=1和T=-1两种情况进行讨论.

解:(1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,

即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故. …………5分

注：只要能判断即可得1分.

(2) , 且, 则对任意, 有,

设, 则, …………8分  

当时, ,

故当时, .  …………10分  

3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.    …………11分  

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .      

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=， …………12分

①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .

②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，

即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z .  …………13分      

综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z}   …………14分