Question

15．已知a≠0，解关于x的一元二次不等式ax²+（a+2）x+2＞0．

Answer 1

分析 将原不等式化为（ax+2）（x+1）＞0，分a＞0，a＜0情况进行讨论．a＜0易解不等式；当a＞0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．

解答 解：将原不等式化为（ax+2）（x+1）＞0，
（1）当a＞0时，有a（x+$\frac{2}{a}$）（x+1）＞0，∴（x+$\frac{2}{a}$）（x+1）＞0，
当a＞2时，$\frac{2}{a}＜$1，∴x＜-1或x＞-$\frac{2}{a}$；
当a=2时，$\frac{2}{a}$=1，∴x∈R，且x≠-1；
当0＜a＜2时，有$\frac{2}{a}$＞1，∴x＜-$\frac{2}{a}$或x＞-1；
（2）当a＜0时，∴（x+$\frac{2}{a}$）（x+1）＜0，
∴-1＜x＜-$\frac{2}{a}$，
综上，0＜a＜2时，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{2}{a}$或x＞-1}；
当a=2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞2时，不等式的解集为}，{x＜-1或x＞-$\frac{2}{a}$}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜-$\frac{2}{a}$}．

点评 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．