Question

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

Answer 1

解：（1））∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2
∵圆过点O、F，
∴圆心M在直线上
设
则圆半径
由|OM|=r，得
解得
∴所求圆的方程为。
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），则
∴AB的垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵k≠0
∴
∴点G横坐标的取值范围为。