Question

13．已知抛物线C；y²=2px过点A（1，1）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
（2）设过点P（3，-1）的直线l的方程为x-3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y²=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k₁•k₂的值．

解答 解：（1）由题意抛物线y²=2px过点A（1，1），所以p=$\frac{1}{2}$，
所以得抛物线的方程为y²=x；
（2）证明：设过点P（3，-1）的直线l的方程为x-3=m（y+1），即x=my+m+3，
代入y²=x得y²-my-m-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=m，y₁y₂=-m-3，
所以k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+m（m+2）{y}_{1}{y}_{2}+（m+2）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．