Question

设集合A⊆R，如果x₀∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x₀|＜a，那么称x₀为集合A的一个聚点，则在下列集合中：（1）z⁺∪z^-；（2）R⁺∪R^-；（3）{x|x=

1

n

，n∈N*}；（4）{x|x=

n

n+1

，n∈N*}，以0为聚点的集合有

（2）（3）

（写出所有你认为正确的结论的序号）．

Answer 1

分析：根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答：解：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z⁺∪Z^-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是Z⁺∪Z^-的聚点；
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=

a

2

（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；
（3）集合{x|x=

1

n

，n∈N*}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a，
∴0是集合{x|x=

1

n

，n∈N*}的聚点．
（4）中，集合{x|x=

n

n+1

，n∈N*}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈N*}的聚点．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键．