Question

14．解关于x的不等式
（1）|x-3|+|x|＞4
（2）ax²-（a+1）x+1＜0（a∈R）

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得|x-3|+|x|＞4的解集．
（2）分当a=0时、当0＜a＜1时、当a=1时、当a＞1时四种情况，分别求得原不等式的解集．

解答 解：（1）由于|x-3|+|x|表示数轴上的x对应点到3、0对应点的距离之和，
而-$\frac{1}{2}$和$\frac{7}{2}$对应点到3、0对应点的距离之和正好等于4，故|x-3|+|x|＞4的解集为$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{7}{2}，+∞）$．
（2）当a=0时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即-x+1＜0，求得它的解集为（1，+∞）；
当0＜a＜1时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即 （ax-1）（x-1）＜0，故它的解集为$（1，\frac{1}{a}）$；
当a=1时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即 x²-2x+1＜0，即 （x-1）²＜0，它的解集为∅；
当a＞1时，不等式ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，故它的解集解集为 $（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．