Question

【题目】设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，

∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，

g′（x）= ﹣2a= ，

当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；

当a＞0，当x＞ 时，g′（x）＜0，函数为减函数，

当0＜x＜ ，g′（x）＞0，函数为增函数，

∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；

当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0， ），单调减区间是（ ，+∞）

（2）

解：∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，

①当a≤0时，f′（x）单调递增，

则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，

②当0＜a＜ 时， ＞1，由（1）知，f（x）在（0， ）内单调递增，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜ 时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1， ）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．

③当a= 时， =1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．

④当a＞ 时，0＜ ＜1，

当 ＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．

综上实数a的取值范围是a＞ ．

【解析】（1）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（2）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．；本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．