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    【题目】已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.

    （1）求抛物线的标准方程；

    （2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.

    【答案】(1) ;(2)见解析.

    【解析】

    (1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;

    (2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立, 解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.

    (1)设,则,两式相减,得: 由弦中点的纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.

    (2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理 .

    直线的斜率为定值.

    练习册系列答案
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    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

    （1）当时，是什么曲线？

    （2）当时，求与的公共点的直角坐标．

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    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)，以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

    （1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

    （2）已知，曲线与的交点A， B满足(A为第一象限的点)，求的值.

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    【题目】“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了100名男性和100名女性在“双十一”活动中用于网购的消费金额，数据整理如下：

    男性消费金额频数分布表

    消费金额

    （单位：元）

    0~500

    500~1000

    1000~1500

    1500~2000

    2000~3000

    人数

    15

    15

    20

    30

    20

    （1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额；

    （2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过200元的消费称作理性消费，试问是否有5成以上的把握认为理性消费与性别有关.

    附：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

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    【题目】在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的中垂线交于点.记点的轨迹为曲线.

    （1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；

    （2）若直线与曲线交于两点、，则在圆上是否存在两点、，使得，？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且△BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a2＝4b2+1．

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．

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    【题目】已知，，，：，：.给出以下四个命题：

    ①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；

    ②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；

    ③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上；

    ④若，相交，且，则与，一个内切一个外切的圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分.

    则以上命题正确的是__________.

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    【题目】在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.

    组别

    频数

    25

    150

    200

    250

    225

    100

    50

    （Ⅰ）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；

    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

    （i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

    （ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.

    赠送的随机话费（单位：元）

    20

    40

    概率

    附：若，则，，.

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