Question

如图，正整数数列，假设第n行的第一个数为
（1）由前三行数的排列规律依次写出第五行的所有数字；
（2）求出a_n的通项公式并求第n行所有数的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由前三行数的排列规律可得第n行有2n个数，故前4行的数字总数为20，且这20个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，由此可得第5行的各数．
（2）由于前n-1行中，所有数字的个数为 2+4+6+…+2（n-1）=n²-n，故a_n的通项公为 a_n =n²-n+1，由此利用等差数列的求和公式求得n行所有数的和S_n 的值．
解答：解：（1）由前三行数的排列规律可得第n行有2n个数，故前4行的数字总数为2+4+6+8=20，
且这20个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列．
故第5行的开头第一个数为21，共有10个，故第五行的所有数字为
21、22、23、24、25、26、27、28、29、30．
（2）由于前n-1行中，所有数字的个数为 2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1）=n²-n，
故 a_n的通项公为 a_n =n²-n+1．
故第n行所有数的和S_n =2n（ n²-n+1）+=2n³+n．
点评：本题主要考查的知识点是归纳推理，由特殊的个例总结得出一般性的结论，等差数列的求和公式的应用，属于中档题．