Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC与BD交于点O，A₁C₁与B₁D₁交于点O₁，E为AD₁的中点．
（I） EO₁∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ） 求二面角O₁-BC-D的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EO₁∥平面CDD₁C₁．
（Ⅱ）求出平面O₁BC的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法能求出二面角O₁-BC-D的平面角．

解答： （I）证明：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2

3

，OB=2，
则A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），O₁（0，0，3），
D₁（0，-2，3），E（

3

，-1，

3

2

），D（0，-2，0），

O1E

=（

3

，-1，-

3

2

），

CC1

=（0，0，3），

CD

=（2

3

，-2，0），
设平面CDD₁C₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CC1 =3z=0 n • CD =2 3 x-2y=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
∵

n

•

O1E

=0，∴

n

⊥

O1E

，
∵O₁E?平面CDD₁C₁，∴EO₁∥平面CDD₁C₁．
（Ⅱ）解：A（2

3

，0，0），B（0，2，0），C（-2

3

，0，0），O₁（0，0，3）
设平面O₁BC的法向量为

n1

（x₁，y₁，z₁），
则

n1

⊥

O1B

，

n1

⊥

O1C

，
∴

2y1-3z1=0 -2 3 x1-3z1=0

，
取z₁=2，得

n1

=（-

3

，3，2），
又平面BCD的法向量

n2

=（0，0，3），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

2

，
设二面角O₁-BC-D的平面角为θ，则cosθ=

1

2

，∴θ=60°，
∴二面角O₁-BC-D的平面角为60°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．