Question

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a²+b=4，则

2

x

+

1

y

的最大值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由指对数转化公式得到x=log_a2，y=log_b2，从而可化简

2

x

+

1

y

，最后由基本不等式可得

2

x

+

1

y

的最大值．

解答：解：∵a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴

2

x

+

1

y

=2log₂a+log₂b=log₂a²b，
∵a²+b=4，a＞1，b＞1，
∴a²+b=4≥2

a2b

则a²b≤4，当且仅当a=

2

，b=2时取等号，
∴

2

x

+

1

y

=log₂a²b≤log₂4=2，
即

2

x

+

1

y

的最大值为2．
故选：B．

点评：本题主要考查了对数的运算性质，对数的换底公式的应用，基本不等式的应用是求解最值的关键，属于中档题．