Question

已知双曲线C_1：x²-y²=m（m＞0）与椭圆有公共焦点F₁F₂，点是它们的一个公共点．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）过点F₂且互相垂直的直线l₁，l₂与圆M：x²+（y+1）²=4分别相交于点A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点代入双曲线C₁：x²-y²=m（m＞0），求得m的值，求得椭圆的焦点，把点代入椭圆，解方程组即可求得C₁，C₂的方程；
（2）根据直线l₁，l₂与圆相交，由垂径定理可得四边形MEF₂F是矩形（其中M是圆的圆心），设圆M的圆心为M，l₁、l₂被圆M所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，利用勾股定理可得ME²+MF²=F₂M²=3，利用基本不等式即可求得|AB|+|CD|的最大值，和此时直线l₁的方程．
解答：解：（1）点N（，1）是双曲线C₁：x²-y²=m（m＞0）上的点，∴m=（）²-1=1．
∴双曲线C₁：x²-y²=1，从而F₁（-，0），F₂（，0），∴a²＞b²，且a²-b²=2．①
又点N（，1）在椭圆上，则②
由①②得a²=4，b²=2，所以椭圆的方程为．
（2）设圆M的圆心为M，l₁、l₂被圆M所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，因为四边形MEF₂F是矩形，
所以ME²+MF²=F₂M²=3，即[4-（）²]+[4-（）²]=3，
化简得d₁²+d₂²=20
从而d₁+d₂≤•，等号成立?d₁=d₂=，
d₁=d₂=时，∴（d₁+d₂）_max=2，
即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为2．
设直线l₁的方程为y=k（x-）
圆心M到直线l_1为的距离，
∴=，解得k=±，
∴直线l₁的方程为y=±（x-）．
点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程及简单的几何性质、直线与圆的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．