【题目】设F1 , F2分别是椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点,过F1倾斜角为45°的直线l与E相交于A,B两点,且|AB|= (Ⅰ)求E的离心率
(Ⅱ)设点P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可得直线l的方程为:y=x+c,A(x1 , y1),B(x2 , y2). 联立 ,化为:(a2+b2)x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
|AB|= = = ,
化为:a2=2b2 .
∴e= = = .
(Ⅱ)设线段AB的中点M(x0 , y0).
x0= =﹣ =﹣ .y0=x0+c= c.
∵点P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,∴PM⊥AB,
∴kPMkAB= ×1=﹣1,解得c=3.
∴a2=b2+c2=2b2 , 解得b=c=3,a2=18.
∴椭圆E的方程为 =1
【解析】(I)由题意可得直线l的方程为:y=x+c,A(x1 , y1),B(x2 , y2).与椭圆方程联立化为:(a2+b2)x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0,利用根与系数的关系代入|AB|= = ,化简即可得出.(II)设线段AB的中点M(x0 , y0).可得x0= =﹣ .y0=x0+c.根据点P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,可得PM⊥AB,kPMkAB=﹣1,解得c.a2=b2+c2=2b2 , 解得b,a.
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【题目】已知数列{an}和{bn}(bn≠0,n∈N*),满足a1=b1=1,anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0
(1)令cn= ,证明数列{cn}是等差数列,并求{cn}的通项公式
(2)若bn=2n﹣1 , 求数列{an}的前n项和Sn .
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【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | ﹣5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),求θ的最小值.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)过点( ,﹣ ),且离心率为 . (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点A(x1 , y1),B(x2 , y2)是椭圆C上的亮点,且x1≠x2 , 点P(1,0),证明:△PAB不可能为等边三角形.
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【题目】已知
x | |||||
2x+ | |||||
sin(2x+ ) | |||||
f(x) |
(1)用五点法完成下列表格,并画出函数f(x)在区间 上的简图;
(2)若 ,函数g(x)=f(x)+m的最小值为2,试求处函数g(x)的最大值,指出x取值时,函数g(x)取得最大值.
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【题目】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里:驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:需日相逢.
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点;
(I)求异面直线A1B,AC1所成角的余弦值;
(II)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值.
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