【题目】心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量记为1,则x天后的存留量;若在t(t>4)天时进行第一次复习,则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计),其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分,其斜率为(a<0),存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点”.
(1)若a=-1,t=5求“二次复习最佳时机点”;
(2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求a的取值范围.
【答案】(1)第14天.(2)-4<a<0.
【解析】
试题(1)首先列出第一次复习后的存留量,y2=(x-t)+(t>4),从而得到第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y=y2-y1=(x-t)+-(t>4).当a=-1,t=5时,
y=(x-5)+-=-+1≤-2+1=,当且仅当x=14时取等号,
(2)出现“二次复习最佳时机点”,就是t>4有解,根据y=(x-t)+-
=-+--≤-2+,当且仅当-=,
即x=(t+4)-4时取等号,由题意(t+4)-4>t,所以-4<a<0.
试题解析:解:设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y,
由题意知,y2=(x-t)+(t>4),
所以y=y2-y1=(x-t)+-(t>4).
(1)当a=-1,t=5时,
y=(x-5)+-=-+1≤-2+1=,
当且仅当x=14时取等号,
所以“二次复习最佳时机点”为第14天.
(2)y=(x-t)+-=-+--
≤-2+,
当且仅当-=,即x=(t+4)-4时取等号,
由题意(t+4)-4>t,所以-4<a<0.
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【题目】年月日是第二十七届“世界水日”,月日是第三十二届“中国水周”.我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先,强化水资源管理”.某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭,记录他们月份的用水量(单位:)如下表:
小区家庭月用水量 | ||||||||||
小区家庭月用水量 | ||||||||||
(1)根据两组数据完成下面的茎叶图,从茎叶图看,哪个小区居民节水意识更好?
(2)从用水量不少于的家庭中,、两个小区各随机抽取一户,求小区家庭的用水量低于小区的概率.
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【题目】已知某三棱锥的三视图如图所示,图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出,则在该三棱锥中,最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知直线PA,PB分别与半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2, .若点M在圆O的内部(不包括边界),则实数λ的取值范围是( )
A.(﹣1,1)
B.
C.
D.(0,1)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数);在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.
(Ⅰ)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若射线l:y=kx(x≥0)分别交C1 , C2于A,B两点(A,B异于原点).当 时,求|OA||OB|的取值范围.
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【题目】鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格的花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人. 某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议,特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:(表一)
年龄 | 频数 | 频率 | 男 | 女 |
[0,10) | 10 | 0.1 | 5 | 5 |
[10,20) | ① | ② | ③ | ④ |
[20,30) | 25 | 0.25 | 12 | 13 |
[30,40) | 20 | 0.2 | 10 | 10 |
[40,50) | 10 | 0.1 | 6 | 4 |
[50,60) | 10 | 0.1 | 3 | 7 |
[60,70) | 5 | 0.05 | 1 | 4 |
[70,80) | 3 | 0.03 | 1 | 2 |
[80,90) | 2 | 0.02 | 0 | 2 |
合计 | 100 | 1.00 | 45 | 55 |
(1)完成表格一中的空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.
(2)完成表格二,并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关?
(3)按分层抽样(分50岁以上与50以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上(含)的人数为ξ,求ξ的分布列 (表二)
50岁以上 | 50岁以下 | 合计 | |
男生 | 5 | 40 | 45 |
女生 | 15 | 40 | 55 |
合计 | 20 | 80 | 100 |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:k2= ,其中n=a+b+c+d)
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【题目】2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关,某体育台随机抽取100名观众进行统计,得到如下列联表.
(1)将列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)在不喜爱足球运动的观众中,按性别分别用分层抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目,求这2人至少有一位男性的概率.
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