【题目】如图,三棱锥中,,底面为正三角形.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若平面,,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明线线垂直,一般通过线面垂直性质定理,即先证线面垂直,耳线面垂直的判定,往往从线线垂直出发,其中线线垂直的寻找与论证往往利用平几知识:取的中点,则由等腰三角形性质得,,进而可证线面垂直(Ⅱ)求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点,连接,,
∵,
∴,
又,
∴,
∴.………………………………5分
(Ⅱ)平面且交于,,
∴,则可建立如图所示的空间直角坐标系.
又,为正三角形,
∴,.
设为平面的法向量,则,
∴,∴,
取,则为平面的一个法向量,
又为平面的一个法向量,
∴,
则二面角的余弦值为.…………………12分
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【题目】据国家统计局发布的数据,2019年11月全国(居民消费价格指数),同比上涨,上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响上涨3.27个百分点.下图是2019年11月一篮子商品权重,根据该图,下列四个结论正确的有______.
①一篮子商品中权重最大的是居住
②一篮子商品中吃穿住所占权重超过
③猪肉在一篮子商品中权重为
④猪肉与其他禽肉在一篮子商品中权重约为
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【题目】已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:⊥;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
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【题目】已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象上的任意两点,且角φ的终边经过点,若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
()求椭圆的方程.
()设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与相交于两点, (两点均不在坐标轴上),且使得直线、的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
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