分析:(Ⅰ)由
an=(an-1+an-2)得
an-an-1=(an-1+an-2)-an-1=-(an-1-an-2),(n≥3).由此能导出数列{a
n}的通项公式.由数列{b
n}是首相为b
1=1,公比为-2的等比数列,能求出{b
n}的通项公式.
(Ⅱ)
cn=nanbn=n[-(-)n-1]•(-2)n-1=•(-2)n-1-,记T
n=1•(-2)
0+2•(-2)+3•(-2)
2++n•(-2)
n-1,由错位相减法能导出
Tn=,由此能求出数列{c
n}的前n项和S
n.
解答:解:(Ⅰ)由
an=(an-1+an-2),
得
an-an-1=(an-1+an-2)-an-1=-(an-1-an-2),(n≥3)(2分)
又∵a
2-a
1=1≠0,
∴数列{a
n+1-a
n}是首项为1公比为
-的等比数列,
∴
an+1-an=(-)n-1.
a
n=a
1+(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+(a
4-a
3)+…+(a
n-a
n-1)
=
1+1+(-)+(-)2++(-)n-2=
1+=-(-)n-1,(4分)
经检验它对n=1,2也成立,
∴数列{a
n}的通项公式为
an=-(-)n-1(5分)
∵数列{b
n}是首相为b
1=1,
公比为-2的等比数列.
∴b
n=1×(-2)
n-1=(-2)
n-1.(7分)
(Ⅱ)
cn=nanbn=n[-(-)n-1]•(-2)n-1=•(-2)n-1-,
S
n=c
1+c
2+c
3+…+c
n=
[1•(-2)0+2•(-2)+3•(-2)2+…+n•(-2)n-1]-
(1+2+…+n)=
[1•(-2)0+2•(-2)+3•(-2)2+…+n•(-2)n-1] -(10分),
记T
n=1•(-2)
0+2•(-2)+3•(-2)
2+…+n•(-2)
n-1,①
则2T
n=1•(-2)
1+2•(-2)
2+…+(n-1)•(-2)
n-1+n•(-2)
n②,
由①-②得:-T
n=(-2)
0+(-2)+(-2)
2+…+(-2)
n-1-n•(-2)
n
=
-n•(-2)n,
∴
Tn=(12分)
∴
Sn=•-=•[(3n+1)(-2)n-1]-(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意挖掘题设中的隐含条件.