Question

已知点F₁（-4，0），F₂（4，0），又P（x，y）是曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上的点，则（　　）

A．|PF₁|+|PF₂|=10

B．|PF₁|+|PF₂|＜10

C．|PF₁|+|PF₂|≤10

D．|PF₁|+|PF₂|≥10

Answer 1

分析：法一：根据方程(

x

5

)4+(

y

3

)4=1，可以联想椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，根据椭圆的定义可知，

x2

25

+

y2

9

=1是以点F₁（-4.0），F₂（4，0）为焦点的椭圆，在椭圆上任意取点，可以证明点在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的内部或在曲线上，即椭圆上的点在封闭曲线的内部或曲线上，故可得结论．
法二：任取点P（x，y）在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上，可令

x2

25

=cosA≥0，

y2

9

=sinA≥0，A∈[0，

π

2

]，易证得sinA+cosA≥1，即

x2

25

+

y2

9

≥1由此知点P（x，y）在

x2

25

+

y2

9

=1上可其外部，再由椭圆的定义易选出正确选项

解答：解：根据方程(

x

5

)4+(

y

3

)4=1，可以联想椭圆

x2

25

+

y2

9

=1，
在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上取点Q（5cosα，3sinα），即x=5cosα，y=3sinα
则(

x

5

)4+(

y

3

)4=cos 4α +sin4α=2(sin2α-

1

2

) 2+

1

2

∵0≤sin²α≤1，
∴

1

2

≤(

x2

25

)2+(

y2

9

)2≤1
即点Q在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的内部或在曲线上
所以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的点在封闭曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的内部或曲线上
由题意，

x2

25

+

y2

9

=1是以点F₁（-4.0），F₂（4，0）为焦点的椭圆
∴当P点恰好取在顶点上时，此时点P在椭圆上，故有|PF₁|+|PF₂|=10
点P不在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1的顶点上时，必有点P在椭圆的外部，故|PF₁|+|PF₂|＞10
综上所述，|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D．
法二：任取点P（x，y）在曲线(

x

5

)4+(

y

3

)4=1上，可令

x2

25

=cosA≥0，

y2

9

=sinA≥0，A∈[0，

π

2

]
则有sinA+cosA≥1，即

x2

25

+

y2

9

≥1由此知点P（x，y）在

x2

25

+

y2

9

=1上可其外部，故有|PF₁|+|PF₂|≥10
故选D

点评：本题以曲线为载体，考查类比思想，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力．