Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=．
（Ⅰ）求点A₁到平面AB₁C₁的距离；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点A₁到平面AB₁C₁的距离为h，利用等体积可求；
（Ⅱ）分别以CB，CC₁，CA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求平面BAB₁、AB₁C₁一个法向量，再利用公式求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）设点A₁到平面AB₁C₁的距离为h，则由题意，
AC₁=3．B₁C₁=1，B₁C₁⊥AC₁
∴
∴
（Ⅱ）分别以CB，CC₁，CA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
设平面BAB₁的一个法向量为，则，∴，∴
同理可得平面AB₁C₁的一个法向量
设二面角B-AB₁-C₁的大小为α，则
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值为
点评：本题以直三棱柱为载体，考查点面距离，考查面面角，关键是构建空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而利用公式求解．