Question

已知

a

=（1，sinα），

b

=（2，sin（α+2β）），

a

∥

b

．
（1）若sinβ=

3

5

，β是钝角，求tanα的值；
（2）求证：tan（α+β）=3tanβ．

Answer 1

分析：（1）根据a∥b，即a和b的坐标，进而可知sin（α+2β）=2sinα，根据sinβ求得cosβ，进而可求得sin2β，进而利用两角和公式化简理求得tanα．
（2）整理sin（α+2β）=2sinα，利用两角和公式化简整理，等式两边同时除以cos（α+β）cosβ求得tan（α+β）=3tanβ．

解答：解：由已知

a

=（1，sinα），

b

=（2，sin（α+2β）），

a

∥

b

所以sin（α+2β）=2sinα
（1）sinβ=

3

5

，β是钝角，所以cosβ=-

4

5

，可得sin2β=-

24

25

，cos2β=

7

25

，
代入sinαcos2β+cosαsin2β=2sinα化得tanα=-

24

43

；
（2）证明：因为sin（α+2β）=2sinα，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]
得sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=2[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]
移项得sin（α+β）cosβ=3cos（α+β）sinβ，
等式两边同时除以cos（α+β）cosβ得tan（α+β）=3tanβ

点评：本题主要考查了三角恒等式的证明．解题的关键是利用了两角和公式进行化简整理．