Question

(14分)如图，在直三棱柱中，，点是的中点.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求证:平面；
（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为。

(I)由题目条件可知,又因为,D为AB的中点，所以,所以.
(II)连接BC₁交B₁C交于O点，连接OD，则OD//AC₁,所以平面.
(III)在（I）的基础上可知就是异面直线与所成角,然后解三角形求角即可.
（Ⅰ）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中
,
∴…………1
又,…………2
………………………3
∴……………………4
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，…………….5
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE//AC₁，…………………………………………7
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，………….8
∴AC₁//平面CDB₁……………………………………9
（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED或其补角为AC₁与B₁C所成的角……..10
在△CED中，ED=-------------12

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为………………………14