Question

设{a}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{b_n}，令b_n=，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

解：（1）由a₁=S₁=，及a_n＞0，得a₁=3
由得．
∴当n≥2时，
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴，
T_n=b₁+b₂+…+b_n

==
∴
由，得
得，得
∴
因而n满足的最小整数（14分）
分析：（1）由题设条件得a₁=3，，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知S_n=n（n+2），所以，再用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n，由此能求出T_n．
点评：本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和的灵活运用．