【题目】椭圆C: 过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点.设点P(4,3),记PA,PB的斜率分别为k1和k2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
【答案】
(1)
解:∵a=2,又c=1,∴ ,∴椭圆方程为
(2)
解:直线l:y=﹣x+1,设A(x1,y1)B(x2,y2),
由 消y得7x2﹣8x﹣8=0,有 ,
(3)
解:当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1, ),B(1,﹣ ),
则 , ,故k1+k2=2.
当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x﹣1),设A(x1,y1)B(x2,y2),
由 消y得(4k2+3)x2﹣8k2x+(4k2﹣12)=0,有 ,
=
【解析】(1)利用已知条件求出b,即可求解椭圆方程.(2)直线l:y=﹣x+1,设AB坐标,联立 利用韦达定理以及斜率公式求解即可.(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A,B,求出斜率,即可;当直线AB的斜率存在时,设其为k,求直线AB:y=k(x﹣1),联立直线与椭圆的方程组,利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可.
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【题目】数列{an}的前n项a1 , a2 , …,an(n∈N*)组成集合An={a1 , a2 , …,an},从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列{2n﹣1},当n=1时,A1={1},T1=1;n=2时,A2={1,3},T1=1+3,T2=13;
(1)若集合An={1,3,5,…,2n﹣1},求当n=3时,T1 , T2 , T3的值;
(2)若集合An={1,3,7,…,2n﹣1},证明:n=k时集合Ak的Tm与n=k+1时集合Ak+1的Tm(为了以示区别,用Tm′表示)有关系式Tm′=(2k+1﹣1)Tm﹣1+Tm , 其中m,k∈N*,2≤m≤k;
(3)对于(2)中集合An . 定义Sn=T1+T2+…+Tn , 求Sn(用n表示).
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【题目】如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“H型数列”.
(1)若数列{an}为“H型数列”,且a1= ﹣3,a2= ,a3=4,求实数m的取值范围;
(2)是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”,且其前n项和Sn满足Sn<n2+n(n∈N*)?若存在,请求出{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列{an}的每一项均为正整数,且{an}为“H型数列”,bn= an , cn= ,当数列{bn}不是“H型数列”时,试判断数列{cn}是否为“H型数列”,并说明理由.
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【题目】设数列{an}是集合{x|x=3s+3t , s<t且s,t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为 .
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【题目】定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”,例如{2.1}=3,{4}=4.以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( ) ①f(2x)=2f(x);
②若f(x1)=f(x2),则x1﹣x2<1;
③任意x1 , x2∈R,f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2);
④ .
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
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【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,BB1=2,求:
(1)异面直线B1C1与A1C所成角的大小;
(2)四棱锥A1﹣B1BCC1的体积.
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【题目】已知f(x)=x2﹣ax+lnx,a∈R.
(1)当a=3时,求函数f(x)的极小值;
(2)令g(x)=x2﹣f(x),是否存在实数a,当x∈[1,e](e是自然对数的底数)时,函数g(x)取得最小值为1.若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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