Question

设［a,b］是函数y=f(x)定义域内的一个闭区间.如果对任意的x₁、x₂∈［a,b］且x₁≠x₂,有f()＞［f(x₁)+f(x₂)］,那么称函数y=f(x)在区间［a,b］上为凸函数;如果对任意的x₁、x₂∈［a,b］,且x₁≠x₂,有f()＜［f(x₁)+f(x₂)］,那么称函数y=f(x)在区间［a,b］上为凹函数.

(1)判定函数f(x)=在定义域［0,+∞)上是凹函数还是凸函数,并证明你的结论;

(2)判定函数f(x)=2^x在定义域(-∞,+∞)上是凹函数还是凸函数,并证明之.

Answer 1

解析:(1)函数y=的图象如图所示.

由图形易知,任给x₁、x₂∈［0,+∞),

＞(),

∴函数f(x)=在［0,+∞)上为凸函数.

证明:任取x₁、x₂∈［0,+∞),且x₁≠x₂,

()²-［()］²

=(x₁+x₂-)

=()²＞0,

∴()²＞［()］².

∴＞(),

即满足f()＞［f(x₁)+f(x₂)］.

∴函数f(x)=x在［0,+∞)上是凸函数.

(2)函数f(x)=2^x图象如下.

从图形知在(-∞,+∞)上函数y=2^x是凹函数.

证明:任取x₁、x₂∈(-∞,+∞)且x₁≠x₂,则-()=-()=

∵x₁≠x₂,∴,即.

∴²＜0,

即＜.

∴函数f(x)=2^x在(-∞,+∞)上是凹函数.