Question

（A）4-2矩阵与变换
已知二阶矩阵M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，属于λ₁的一个特征向量是e1=

1 1

，属于λ₂的一个特征向量是e2=

-1 2

，点A对应的列向量是a=

1 4

．
（Ⅰ）设a=me₁+ne₂，求实数m，n的值．
（Ⅱ）求点A在M⁵作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程
已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-

π

3

)=3，曲线C的参数方程为

x=cosθ y=3sinθ

，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析：（A）：（Ⅰ）把两个特征向量代入a=me₁+ne₂，让其等于

.

1   4

.

，得到关于m与n的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到m与n的值；
（Ⅱ）根据二阶矩阵的线性变换，得到M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂，分别把两个特征向量代入即可求出点A在M⁵作用下的点的坐标；
（B）：把极坐标方程利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，根据ρsinθ=y，ρcosθ=x，把极坐标方程化为普通方程得到直线l的方程，设出曲线C参数方程一点坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用两角和的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出d的最大值．

解答：（A）4-2矩阵与变换
解：（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：

1 4

=m

1 1

+n

-1 2

，即

1=m-n 4=m+2n

?

m=2 n=1

．
（Ⅱ）二阶矩阵M对应的变换是线性变换
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=2

1 1

+25=

2-25 2+26

=

-30 66

所以点A在M⁵作用下的点的坐标（-30，66）．
（B）4-2极坐标与参数方程
解：由ρsin(θ-

π

3

)=3，得：ρ(

1

2

sinθ-

3

2

cosθ)=3，∴y-

3

x=6，即：

3

x-y+6=0
又曲线C的参数方程是

x=cosθ y=3sinθ

，设点P坐标为（cosθ，3sinθ），
则点P到直线l的距离是d=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

( 3 )2+12

=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

2

=

|2 3 cos(θ+ π 3 )+6|

2

≤

|2 3 +6|

2

=

3

+3
所以，P到直线l的距离的最大值为

3

+3．

点评：此题考查了二阶矩阵的线性表示，会将简单的极坐标方程化为普通方程，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，是一道综合题．