Question

设k是一个正整数，（1+

x

k

）^k的展开式中第四项的系数为

1

16

，记函数y=x²与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（　　）

• A、

  17

  96

• B、

  5

  32

• C、

  1

  6

• D、

  7

  48

Answer 1

考点：几何概型,定积分在求面积中的应用

专题：概率与统计

分析：先利用二项式定理求出k值，再利用积分求阴影部分的面积，那积分的上下限由求方程组得到．然后利用几何概型的概率公式解答．

解答： 解：根据题意得

C

3 k

(

1

k

)3=

1

16

，
解得：k=4或 k=

4

5

（舍去）
解方程组

y=x2 y=4x

，
解得：x=0或4
∴阴影部分的面积为

∫

4 0

(4x-x2)dx=(2x2-

1

3

x3)

|

4 0

=

32

3

，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应 区域面积为4×16=64，
由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为

32 3

64

=

1

6

；
故选C．

点评：本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率求法，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．