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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,AD=2,AB=4,BD=2
(1)求证;PA⊥BD
(2)求二面角D﹣BC﹣P的余弦值.

【答案】
(1)解:在△ABD中,AD⊥DB,

由平面PAD⊥平面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴DB⊥PA


(2)解:二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值,

作PO⊥AD于O,则PO⊥面ABCD.

过O作OE⊥BC于E,连接PE,则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角.

又△PEO中,PO= ,OE=DB=2 ,故PE=

cos∠PEO=

∴二面角D﹣BC﹣P的余弦值为


【解析】(1)由面面垂直的性质得BD⊥面PAD,即可证得DB⊥PA.(2)二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值,作PO⊥AD于O,则PO⊥面ABCD.过O作OE⊥BC于E,连接PE,则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角,在△PEO中,求得cos∠PEO= ,即可得二面角D﹣BC﹣P的余弦值
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点,需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题.

练习册系列答案
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组别

PM2.5浓度(微克/立方米)

频数(天)

频率

第一组

(0,25]

3

0.15

第二组

(25,50]

12

0.6

第三组

(50,75]

3

0.15

第四组

(75,100]

2

0.1


(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ①求频率分布直方图中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
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A.
B.
C.
D.

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(1)若数列{an}的通项公式为 (n=1,2,…,m),求数列{ri}的通项公式;
(2)若数列{an}满足a1=1,r1=﹣2(i=1,2,…,m﹣1),求数列{an}的通项公式;
(3)试构造项数为m的数列{an},满足an=bn+cn , 其中{bn}是公差不为零的等差数列,{cn}是等比数列,使数列{ri}是单调递增的,并说明理由.

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