【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,AD=2,AB=4,BD=2
(1)求证;PA⊥BD
(2)求二面角D﹣BC﹣P的余弦值.
【答案】
(1)解:在△ABD中,AD⊥DB,
由平面PAD⊥平面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴DB⊥PA
(2)解:二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值,
作PO⊥AD于O,则PO⊥面ABCD.
过O作OE⊥BC于E,连接PE,则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角.
又△PEO中,PO= ,OE=DB=2 ,故PE= ,
cos∠PEO= ,
∴二面角D﹣BC﹣P的余弦值为 .
【解析】(1)由面面垂直的性质得BD⊥面PAD,即可证得DB⊥PA.(2)二面角D﹣BC﹣P的余弦值即二面角A﹣BC﹣P的余弦值,作PO⊥AD于O,则PO⊥面ABCD.过O作OE⊥BC于E,连接PE,则∠PEO为二面角A﹣BC﹣P的平面角,在△PEO中,求得cos∠PEO= ,即可得二面角D﹣BC﹣P的余弦值
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点,需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题.
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【题目】已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an﹣n+1,数列{bn}满足b1=2,bn+1=bn+an﹣n.
(1)证明:{an﹣n}为等比数列;
(2)数列{cn}满足 ,求数列{cn}的前n项和Tn , 求证:Tn .
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【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:
组别 | PM2.5浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ①求频率分布直方图中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列.
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【题目】已知数列{an}满足:a1=1,an+1﹣ansin2θ=sin2θcos2nθ.
(Ⅰ)当θ= 时,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若数列{bn}满足bn=sin ,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:对任意n∈N* , Sn<3+ .
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【题目】已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且满足(2b﹣a)cosC=ccosA.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)设y=﹣4 sin2 +2sin(C﹣B),求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状.
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【题目】已知m是一个给定的正整数,m≥3,设数列{an}共有m项,记该数列前i项a1 , a2 , …,ai中的最大项为Ai , 该数列后m﹣i项ai+1 , ai+2 , …,am中的最小项为Bi , ri=Ai﹣Bi(i=1,2,3,…,m﹣1);
(1)若数列{an}的通项公式为 (n=1,2,…,m),求数列{ri}的通项公式;
(2)若数列{an}满足a1=1,r1=﹣2(i=1,2,…,m﹣1),求数列{an}的通项公式;
(3)试构造项数为m的数列{an},满足an=bn+cn , 其中{bn}是公差不为零的等差数列,{cn}是等比数列,使数列{ri}是单调递增的,并说明理由.
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