Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上，且CE=λCC₁．
（1）λ为何值时，A₁C⊥平面BED；
（2）若A₁C⊥平面BED，求二面角A₁-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：由于λ不确定，从而E点是个动点，而要A₁C⊥平面BED，所以不妨考虑A₁C⊥平面BED满足的条件，从而发现必须有A₁C⊥BE，由三垂线定理，得到B₁C⊥BE，由三角形相似容易得到λ的值，
法二：用向量法，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD₁为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz．则：D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），由于CE=λCC₁，而CC₁的坐标可求，A₁C坐标可求，若A₁C⊥平面BED，则A₁C⊥DE，由向量内积定义可求λ的值；
（2）法一：在解决问题（1）的基础上，可以作出二面角的平面角，通过解三角形解决．
法二：用向量法，由（1）知平面BDE的一个法向量为

A1C

=（-2，2，-4），故只需求平面DA₁B的一个法向量，设为n=（x，y，z），则n⊥

DB

，n⊥

DA1

，通过内积为0求之，再计算向量n与向量A₁C的夹角即可．

解答：解：法一：（1）连接B₁C交BE于点F，连接AC交BD于点G，
∴AC⊥BD，由垂直关系得，A₁C⊥BD，
若A₁C⊥平面BED，则A₁C⊥BE，
由垂直关系可得B₁C⊥BE，
∴△BCE∽△B₁BC，∴

CE

BC

=

BC

BB1

=

1

2

，
∴CE=1，∴λ=

CE

CC1

=

1

4

．
（2）连接A₁G，连接EG交A₁C于H，则A₁G⊥BD．
∵A₁C⊥平面BED，
∴∠A₁GE是二面角A₁-BD-E的平面角．
∵A₁G=3

2

，EG=

3

，A₁E=

17

，
∴cos∠A₁GE=

18+3-17

2 3 ×3 2

=

6

9

，

法二：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD₁为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），
∵CE=λCC₁=4λ，∴E（0，2，4λ），
∴

DB

=（2，2，0），

DA1

=（2，0，4），

A1C

=（-2，2，-4），

DE

=（0，2，4λ），
∵

DB

•

A1C

=2×（-2）+2×2+0×（-4）=0，
∴

DB

⊥

A1C

，∴DB⊥A₁C．
若A₁C⊥平面BED，则A₁C⊥DE，∴

A1C

⊥

DE

，
∴

A1C

•

DE

=（-2）×0+2×2+（-4）×4λ=4-16λ=0，
∴λ=

1

4

．
（2）设向量n=（x，y，z）是平面DA₁B的一个法向量，
则n⊥

DB

，n⊥

DA1

，∴2x+2y=0，2x+4z=0，
令z=1，则x=-2，y=2，∴n=（-2，2，1）
由（1）知平面BDE的一个法向量为

A1C

=（-2，2，-4）
∴cos＜n，

A1C

＞=

m? A1C

|m|?| A1C |

=

6

9

．
即二面角A₁-BD-E的余弦值为

6

9

．

点评：本题考查直线垂直于平面、二面角的求法，在长方体、正方体等较为规则的几何体中，因为容易建立空间坐标系，可以考虑向量法解决，也可以用几何法推导，但是一定要注意问题中有连续的几问时，前一问对后面问题的影响，从而使后面的问题的解决变得简捷．