Question

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（1）求证：∠P=∠EDF；
（2）求证：CE•EB=EF•EP；
（3）若CE：BE=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长．

Answer 1

分析：（1）根据所给的乘积式和对应角相等，得到两个三角形相似，由相似得到对应角相等，再根据两直线平行内错角相等，角进行等量代换，得到要证的结论．
（2）根据所得的结果和对顶角相等，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应线段成比例，把比例式转化为乘积式，再根据相交弦定理得到比例式，等量代换得到结果．
（3）根据所给的等积式和所给的线段的长度，代入数值求出BE的长度，再求出EP的长度，最后根据切割线定理做出PA的长度．

解答：解 （1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．
（3）∵DE²=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．
∵CE：BE=3：2，∴BE=6．
∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=

27

2

．
∴PB=PE-BE=

15

2

，PC=PE+EC=

45

2

．
由切割线定理得：PA²=PB•PC，
∴PA²=

15

2

×

45

2

．∴PA=

15

2

3

．

点评：本题考查三角形相似的判定和性质，考查两条直线平行的性质定理，考查相交弦定理和切割线定理，本题是一个中档题目．