Question

如图，四边形ABCD为长方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=

1

2

PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）若二面角Q-BP-C的大小等于

3π

4

，求

AB

AD

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，用坐标表示点与向量，证明

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0即可证得结论；
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量

n

=(0，t，2)，平面PBQ的法向量

m

=(t，t，1)，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：设DA=1，AB=t，建立如图空间坐标系D-xyz，则Q（1，1，0），C（0，0，t），P（0，2，0）
∴

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，t)，

PQ

=(1，-1，0)
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0
∴PQ⊥DQ，PQ⊥DC
∵DC∩DQ=D，∴PQ⊥平面DCQ
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）解：

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-t)
设

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，则

n • CB =0 n • BP =0

，即

x=0 -x+2y-tz=0

，取

n

=(0，t，2)
设

m

=(x′，y′，z′)是平面PBQ的法向量，则

m • BP =0 m • PQ =0

，即

x′-2y′+tz′=0 x′-y′=0

，取

m

=(t，t，1)
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m || n |

|=

t2+2

t2+4 • 2t2+1

=

2

2

，∴t=2
∴二面角Q-BP-C的大小等于

3π

4

时，

AB

AD

=2．

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，关键是建立空间直角坐标系，属于中档题．