Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，若f（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由f（x）=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象即可求得x的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（4分）
所以由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．…（6分）
（2）由f（x）=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴x=$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．