Question

【题目】设数列{an}满足：①a1=1；②所有项an∈N*；③1=a1<a2<…<an<an+1<….设集合Am={n|an≤m，m∈N*），将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列.

例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.

（I）若数列{an}的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3……，请写出数列{an}；

（II）设an=4n-1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前50项之和；

（III）若数列{an}的前n项和（其中c为常数），求数列{an}的伴随数列{bm}的前m项和Tm.

Answer 1

【答案】（I）1，3，6 （II）Tm=

【解析】试题分析：（1）直接根据伴随数列的定义可得出数列的前三项；（2）当时， ,当时， 当时， ，（3）讨论两种情况，当时； ；当 时， .

试题解析：（I）1，3，6 （II）由an=4n-1≤m，得n≤l+log4m（m∈N*）

当1≤m≤3，m∈N*时，b1=b2=b3=1

当4≤m≤15，m∈N*时，b4=b5=…=b15=2

当16≤m≤50，m∈N*时，b16=b17=…=b50=3

∴b1+b2+…+b50=1×3+2×12+3×35=132

（III）∵a1=S1=1+c=1 ∴c=0

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1（n∈N*）

由an=2n-l≤m得，n≤（m∈N*）

因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，

所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t-1=b2t=t（t∈N*）

当m=2t-1（t∈N*）时；

Tm=2··（t-1）+t=t2=（m+1）2

当m=2t （t∈N*）时；

Tm=2··t=t2+t=m（m+2）

所以Tm=